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2023辽宁省考备考数量关系之不定式方程

2022-12-14 17:12:29 辽宁华图公考问答 http://ln.huatu.com/wenda/ 文章来源:四川华图

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  数量关系当中方程问题是每年必考的内容,方程又分为定方程和不定方程。定方程被广大学员所熟知,通常通过设未知数、列方程、解方程就可以得出答案。而不定方程大部分学员不太了解,接下来我们就给大家详细介绍一下不定方程问题的解题方法。

  所谓不定方程是指未知数的个数多于方程个数,且未知数受到限制的方程或方程组。例如2x+3y=9(两个未知数,一个方程),这样的方程是解不出来具体的解的,但是我们通过一定的方法和技巧,就可以把它解出来,所以对于不定方程,我们主要学习它的解法。我们将不定方程分为简单的不定方程和不定方程组。

  一、简单的不定方程

  将两个未知数,一个方程这样的方程叫做简单的不定方程,例如2x+3y=9,这样的方程解法有两种:1、代入排除法;2、数字特性法。

  1、代入排除法

  一般这种题目会有限制条件,比如x和y都是正整数,让我们求其中一个或者是两个未知数的值,这样就可以将选项依次代入去验证另一个未知数能否算出整数,如果不能,就可以将此选项排除。

  2、数字特性法

  数字特性法用于解不定方程主要有倍数特性和奇偶特性,首先来看倍数特性的应用,以2x+3y=9为例,3y和9这两项都是3的倍数,那么就可以判定2x也是3的倍数,2又不是3的倍数,所以x一定是3的倍数,这样就可以根据x是3的倍数来选择答案或者排除一些选项。再来看奇偶特性在不定方程中的应用,还是以2x+3y=9为例,根据两个数的和或差为奇数,这两个数的奇偶性相反这条性质,右边9为奇数,说明2x和3y的奇偶性相反,2x当中2是偶数,偶数乘以任何数都是偶数,所以2x为偶数,那么3y就是奇数,只有奇数与奇数相乘才是奇数,所以y是奇数,就可以根据y是奇数来选择答案或者排除一些选项。

  【例1】设a,b均为正整数,且有等式11a+7b=84成立,则a的值为( )。A. 4 B. 5C. 7 D. 8

  【解析】

  解法一:

  第一步,本题考查简单不定方程问题,用代入排除法解题。

  第二步,将选项中a的值代入等式11a+7b=84验证,解出b应为正整数。四个选项中只有当a=7时,b的值为整数1,满足条件。因此,选择C选项。

  解法二:

  第一步,本题考查简单不定方程问题,用数字特性法解题。

  第二步,84为7的倍数,7b也为7的倍数,故11a也应为7的倍数,则a为7的倍数。观察选项,只有C满足。因此,选择C选项。

  二、不定方程组

  将3个未知数,2个方程这样的方程叫做不定方程组,例如3x+7y+z=17;4x+10y+z=22。这种题目一般分为两种情况:1、求部分;2、求整体。

  1、不定方程组求部分:消元法

  求部分是指x,y,z三个未知数求其中一个未知数或两个未知数之间的关系,例如3x+7y+z=17;4x+10y+z=22,求x的值。不定方程组求部分用消元法,就是求谁把谁留下,把另外两个未知数想办法消掉一个,我们求的是x的值,应该把x留下,把y和z消掉一个,我们选择消z,第2个方程减第1个方程得到x+3y=5,这样就把不定方程组化成了简单的不定方程,接下来又可以用代入排除法和数字特性法去解题。

  【例2】某单位有宿舍11间,可以住67人,已知每间小宿舍住5人,中宿舍住7人,大宿舍住8人,则小宿舍间数是( )。A. 6 B. 7C. 8 D. 9【解析】

  第一步,本题考查不定方程组问题。

  第二步,设小、中、大宿舍的间数分别为x、y、z,已知宿舍总间数为11、可住67人,列出等式为x+y+z=11、5x+7y+8z=67,列出来的是不定方程组,求的是一个未知数x的值,显然是不定方程组求部分,用消元法。消去z,可得3x+y=21,3x和21都是3的倍数,则y也是3的倍数。当y=3,解得x=6,满足题干所有条件。因此,选择A选项。

  2、不定方程组求整体:赋0法

  求整体是指求三个未知数的和,例如3x+7y+z=17;4x+10y+z=22,求x+y+z的值,不定方程组求整体用赋0法,就是把x,y,z其中一个未知数的值赋值为0,把另外两个未知数解出来,假如把y赋值为0,那么上面的方程组就化简为3x+z=17,4x+z=22,解得x=5,z=2,y赋值为0,那么x+y+z=7。

  【例3】小刚买了3支钢笔,1个笔记本,2瓶墨水花去35元钱,小强在同一家店买同样的5支钢笔,1个笔记本,3瓶墨水花去52元钱,则买1支钢笔,1个笔记本,1瓶墨水共需( )元。A. 9 B. 12C. 15 D. 18

  【解析】

  第一步,本题考查不定方程组问题。

  第二步,设钢笔价单价为x,笔记本单价为y,墨水单价为z,列方程组:3x+y+2z=35,5x+y+3z=52,求x+y+z的值,显然为不定方程组求整体用赋0法,赋x=0,解得:z=17,y=1,则x+y+z=18(元)。因此,选择D选项。

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