2024年公务员笔试数量关系之不定式方程

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　　数量关系当中方程问题是每年必考的内容，方程又分为定方程和不定方程。定方程被广大学员所熟知，通常通过设未知数、列方程、解方程就可以得出答案。而不定方程大部分学员不太了解，接下来我们就给大家详细介绍一下不定方程问题的解题方法。

　　所谓不定方程是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到限制的方程或方程组。例如2x+3y=9(两个未知数，一个方程)，这样的方程是解不出来具体的解的，但是我们通过一定的方法和技巧，就可以把它解出来，所以对于不定方程，我们主要学习它的解法。我们将不定方程分为简单的不定方程和不定方程组。

　　一、简单的不定方程

　　将两个未知数，一个方程这样的方程叫做简单的不定方程，例如2x+3y=9，这样的方程解法有两种:1、代入排除法;2、数字特性法。

　　1、代入排除法

　　一般这种题目会有限制条件，比如x和y都是正整数，让我们求其中一个或者是两个未知数的值，这样就可以将选项依次代入去验证另一个未知数能否算出整数，如果不能，就可以将此选项排除。

　　2、数字特性法

　　数字特性法用于解不定方程主要有倍数特性和奇偶特性，首先来看倍数特性的应用，以2x+3y=9为例，3y和9这两项都是3的倍数，那么就可以判定2x也是3的倍数，2又不是3的倍数，所以x一定是3的倍数，这样就可以根据x是3的倍数来选择答案或者排除一些选项。再来看奇偶特性在不定方程中的应用，还是以2x+3y=9为例，根据两个数的和或差为奇数，这两个数的奇偶性相反这条性质，右边9为奇数，说明2x和3y的奇偶性相反，2x当中2是偶数，偶数乘以任何数都是偶数，所以2x为偶数，那么3y就是奇数，只有奇数与奇数相乘才是奇数，所以y是奇数，就可以根据y是奇数来选择答案或者排除一些选项。

　　【例1】设a，b均为正整数，且有等式11a+7b=84成立，则a的值为( )。A. 4 B. 5C. 7 D. 8

　　【解析】

　　解法一：

　　第一步，本题考查简单不定方程问题，用代入排除法解题。

　　第二步，将选项中a的值代入等式11a+7b=84验证，解出b应为正整数。四个选项中只有当a=7时，b的值为整数1，满足条件。因此，选择C选项。

　　解法二：

　　第一步，本题考查简单不定方程问题，用数字特性法解题。

　　第二步，84为7的倍数，7b也为7的倍数，故11a也应为7的倍数，则a为7的倍数。观察选项，只有C满足。因此，选择C选项。

　　二、不定方程组

　　将3个未知数，2个方程这样的方程叫做不定方程组，例如3x+7y+z=17;4x+10y+z=22。这种题目一般分为两种情况:1、求部分;2、求整体。

　　1、不定方程组求部分:消元法

　　求部分是指x,y,z三个未知数求其中一个未知数或两个未知数之间的关系，例如3x+7y+z=17;4x+10y+z=22，求x的值。不定方程组求部分用消元法，就是求谁把谁留下，把另外两个未知数想办法消掉一个，我们求的是x的值，应该把x留下，把y和z消掉一个，我们选择消z，第2个方程减第1个方程得到x+3y=5，这样就把不定方程组化成了简单的不定方程，接下来又可以用代入排除法和数字特性法去解题。

　　【例2】某单位有宿舍11间，可以住67人，已知每间小宿舍住5人，中宿舍住7人，大宿舍住8人，则小宿舍间数是( )。A. 6 B. 7C. 8 D. 9【解析】

　　第一步，本题考查不定方程组问题。

　　第二步，设小、中、大宿舍的间数分别为x、y、z，已知宿舍总间数为11、可住67人，列出等式为x+y+z=11、5x+7y+8z=67，列出来的是不定方程组，求的是一个未知数x的值，显然是不定方程组求部分，用消元法。消去z，可得3x+y=21，3x和21都是3的倍数，则y也是3的倍数。当y=3，解得x=6，满足题干所有条件。因此，选择A选项。

　　2、不定方程组求整体:赋0法

　　求整体是指求三个未知数的和，例如3x+7y+z=17;4x+10y+z=22，求x+y+z的值，不定方程组求整体用赋0法，就是把x,y,z其中一个未知数的值赋值为0，把另外两个未知数解出来，假如把y赋值为0，那么上面的方程组就化简为3x+z=17，4x+z=22，解得x=5，z=2，y赋值为0，那么x+y+z=7。

　　【例3】小刚买了3支钢笔，1个笔记本，2瓶墨水花去35元钱，小强在同一家店买同样的5支钢笔，1个笔记本，3瓶墨水花去52元钱，则买1支钢笔，1个笔记本，1瓶墨水共需( )元。A. 9 B. 12C. 15 D. 18

　　【解析】

　　第一步，本题考查不定方程组问题。

　　第二步，设钢笔价单价为x，笔记本单价为y，墨水单价为z，列方程组:3x+y+2z=35,5x+y+3z=52，求x+y+z的值，显然为不定方程组求整体用赋0法，赋x=0，解得：z=17，y=1，则x+y+z=18(元)。因此，选择D选项。

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